ทฤษฎีความน่าจะเป็น

นิยามของคำที่เกี่ยวข้อง

-           Trial = การทดลอง หรือ การสังเกตการณ์ ซึ่งมักจะเป็นเหตุการณ์ที่เราไม่รู้แน่ชัดถึงผลลัพธ์  เช่น Trial คือการโยนเหรียญ การทอยลูกเต๋า การการดึงไพ่ เป็นต้น ซึ่งความน่าจะเป็นนั้นจะให้ความสนใจถึงผลลัพธ์ของ Trial นั้นๆ

-            Sample Space (S) = ผลลัพธ์ทั้งหมดที่เป็นไปได้ของ Trail เช่น ถ้า Trial เป็นการโยนเหรียญ 1 ครั้ง S ={h,t} นั่นคือหน้าของเหรียญที่เป็นไปได้ 2 แบบ h=หัว, t= ก้อย  หรือถ้า Trail เป็นการโยนเหรียญ 2 ครั้ง S = {(h, h), (h, t), (t, h), (t, t)} ซึ่งจะมีทั้งหมด 4 แบบ

-          Events (E) = เหตุการณ์ใน Sample Space ที่เราสนใจ เช่น เหตุการณ์ที่เหรียญออกหัวอย่างน้อย 1 ครั้ง ในการโยนเหรียญ 2 ครั้ง คือ E={(h, h), (h, t), (t, h)} ซึ่งเป็นไปได้ 3 แบบ

-          Union = การรวมเหตุการณ์หลายๆ อันเข้าด้วยกัน เช่น E U F คือ เหตุการณ์ E หรือ F หรือ ทั้ง 2 อย่างเกิดขึ้น

-                   Intersection = เหตุการณ์ที่ซ้ำกัน E ∩ F คือ เหตุการณ์ที่ต้องเกิดทั้งเหตการณ์ E และ F

-               Complement = ~E  คือ เหตการณ์ที่ไม่ใช่เหตการณ์ E

-             Mutually Exclusive หมายถึง เหตุการณ์ ทั้งสองไม่มีทางเกิดพร้อมกัน

-            Independence คือ ผลลัพธ์ของเหตุการณ์หนึ่งไม่มีความเกี่ยวข้องกับอีกเหตุการณ์หนึ่ง (ไม่สามารถทำนายผลลัพธ์ของเหตุการณ์หนึ่งจากอีกอันหนึ่งได้)

-            Counting Theory กฎการนับ การที่จะคำนวณความน่าจะเป็นได้ เราจะต้องนับ Event และ Sample Space ให้ถูกต้องเสียก่อน ซึ่งมีวิธีช่วยในการนับดังนี้ครับ

กฏพื้นฐาน คือ ถ้าทำงานอย่างหนึ่งให้เสร็จ ประกอบด้วย k ขั้นตอน

ขั้นตอนที่ 1 มีวิธีเลือก n₁ วิธี

ขั้นตอนที่ 2 มีวิธีเลือก n₂ วิธี

. . .

ขั้นตอนที่ k มีวิธีเลือก n_k วิธี

จะได้ว่า จำนวนวิธีทั้งหมดที่เลือกทำงานนี้ เท่ากับ n₁ x n₂ x n₃ . . .x n_k วิธี

เช่น ถ้ามีเสื้อ 4 แบบ กางเกง 2 แบบ จะแต่งตัวได้กี่แบบ = ใส่เสื้อ ได้ 4 แบบ x ใส่กางเกงได้ 2 แบบ = 8 วิธี

-                   Permutation คือ วิธีทั้งหมดในการจัดเรียงสมาชิกในเซ็ต โดยที่ลำดับมีความสำคัญ เช่น ในเซ็ตมี (a, b, c) เราสามารถจับมาเรียงได้ทั้งหมดโดยไม่ซ้ำกันได้ดังนี้ (a, b, c), (a, c, b), (b, a, c), (b, c, a), (c, a, b), (c, b, a) = 6 แบบซึ่งเราจะใช้ Factorial ในการคำนวนโดยที่ n! อ่านว่า "n แฟคตอเรียล" หมายถึง เอาตัวมันเองคูณด้วยตัวมันเองลบ 1 ไปเรื่อยๆ จนถึง 1   เช่น 3! = 3 x 2 x 1 = 6 แบบ เป็นต้นการที่มีของอยู่ n สิ่ง แต่เลือกมาจักเรียงแค่ k สิ่ง เราจะได้ว่า มี Permutation ทั้งหมด = nPk = n! / (n-k)! แบบเช่น มีของกิน 5 อย่าง เลือกกิน 2 อย่าง จะเลือกได้กี่แบบ โดยที่ลำดับมีความสำคัญ
จะได้ว่า 5P2 = 5!/(5-2)! = 5!/3! = 5x4 = 20 แบบ

ถ้ามองด้วยกฎการนับ ตอนแรกมีของ 5 อย่างให้เลือก คือ 5วิธี เมื่อเลือกไปแล้ว 1 อย่าง ทำให้เหลือให้เลือกในขั้นตอนต่อไปเพียง 4 วิธี ทำให้เป็น 5 x 4 = 20 แบบ นั่นเอง

-                   Combination นั้นจะเหมือนกับ Permutation แต่ว่าการเรียงลำดับไม่มีความหมาย ดังนั้น จำนวนวิธีในการจัดเรียงจึงต้องน้อยกว่า Permutation แน่นอน ทำให้ต้องหาร Permutation ทั้งด้วย k! จึงได้ว่า  nCk = nPk / k! = n! / (n-k)!k!  นั่นเองเช่น ถ้าในตัวอย่างที่แล้วลำดับไม่สำคัญ เราจะได้ว่า 5C2 = 5!/(5-2)!2! = 10 แบบ

-                   Probability คือ ความน่าจะเป็นที่สิ่งที่เราสนใจจะเกิดขึ้น คำนวนได้จาก

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ E ซึ่งเขียนได้ว่า  P(E) = จำนวน Event E / จำนวน Sample Space = E/S
มีค่าตั้งแต่ 0 (ไม่มีทางเกิดขึ้น) ถึง 1 (เกิดขึ้นแน่นอน) หรือจะเป็น 0% - 100% ก็ได้ (เพราะ % คือหาร 100)

P(E) = 0.4 แปลว่า ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ E คือ 40%

P(E) + P(~E) = P(S) = 1 เสมอ

-                   Conditional Probability บ่อยครั้งที่เราต้องการจะรู้ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์หนึ่ง เมื่ออีกเหตุการณ์หนึ่งได้เกิดขึ้น เราจะเขียนว่า P(E|F) อ่านว่า "Probability of E given F" คือ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ E เมื่อเหตุการณ์ F ได้เกิดขึ้นแล้วแต่ว่า ถ้าหาก E และ F มีความไม่ขึ้นต่อกัน ( independent ) เราจะได้ว่า P(E|F) = P(E) ซึ่งตีความได้ว่า ไม่ว่า F จะเกิดขึ้น ความน่าจะเป็นของ P(E) ก็ยังเหมือนเดิมนั่นเอง

การคำนวน Union ของ 2 เหตุการณ์

กรณี Mutually Exclusive : P (E U F) = P(E) + P(F)

กรณี Not Mutually Exclusive : P (E U F) = P(E) + P(F) - P(E ∩ F)
เพราะ E และ F มีส่วนซ้ำกัน ทำให้เรานับเบิ้ล น้องเอาส่วนที่ซ้ำกันออกไป 1 ที นั่นเอง
ซึ่งจะเห็นว่า ถ้าเป็น Mutually Exclusive แล้ว   P(E ∩ F) จะเท่ากับ 0 ทำให้ได้สูตรข้างบนนั่นเอง

การคำนวน Intersection ของ 2 เหตุการณ์

กรณี Independent : P(E ∩ F) = P(E) × P(F)

เช่น หาความน่าจะเป็นของการโยนเหรียญ 2 ครั้งแล้วออกหัวทั้ง 2 ครั้ง จะได้ว่า
P(E) = ความน่าจะเป็นของการโยนเหรียญครั้งแรกแล้วออกหัว = 0.5
P(F) = ความน่าจะเป็นของการโยนเหรียญครั้งสองแล้วออกหัว = 0.5
P(E ∩ F) = ความจ่าจะเป็นที่ครั้งแรกและครั้งที่สองออกหัว = P(E) × P(F) = 0.5 x 0.5 = 0.25

กรณี Nonindependent : P(E ∩ F) = P(E) × P(F|E) หรือ = P(F ∩ E) = P(F) × P(E|F) เพราะสลับที่กันได้

เช่น หาความน่าจะเป็นที่จะจั่วไพ่ได้สีดำ 2 ครั้งติดกัน ถ้าไม่ได้ใส่ไพ่คืน (การจั่วครั้งแรกมีผลต่อครั้งที่สองแน่นอน)
 จะได้ว่า
P(E) = ความน่าจะเป็นของการจั่วไพ่ครั้งแรกได้สีดำ = 26/52 =0.5 (มีไพ่ดำ 26 ใบ จากไพ่ 52 ใบ)
P(F|E) = ความน่าจะเป็นของการจั่วไพ่ครั้งสองได้สีดำ หลังจากจั่วไพ่ครั้งแรกได้สีดำ = 25/51 =0.49 (เหลือไพ่ดำ 25 ใบ จากไพ่ 51 ใบ เพราะดึงไพ่ดำไปแล้วใบนึง)
P(E ∩ F) = ความน่าจะเป็นที่จะจั่วไพ่ได้สีดำ 2 ครั้งติดกัน = P(E) × P(F) = 0.5 x 0.49 = 0.245

Bayes's Theorem

เป็นทฤษฎีที่ใช้คำนวณหา Conditional Probability โดยที่

P(A | B) = P (A ∩ B) / P(B)

ซึ่ง P (A ∩ B) =  P(A) * P(B|A)
และ P(B) = P(A∩B) +P(~A∩B) = P(A)*P(B|A) + P(~A)*P(B|~A)

ลองพิจารณาจาก Venn Diagrams จะเข้าใจง่ายมาก ว่าทำไม P(A | B) = P (A ∩ B) / P(B)

ซึ่งจะทำให้รู้ได้อีกว่า P (A ∩ B) = P(A | B) * P(B) และเมื่อ P (A ∩ B) = P (B ∩ A)
ทำให้ได้ว่า P(A | B) * P(B) = P(B | A) * P(A) ไปด้วยนั่นเองครับ

นั่นคือ P(A | B) = P(B | A) * P(A) / P(B)

ตัวอย่างเรื่องความน่าจะเป็น

ในตัวอย่างหลายๆ อันในนี้จะมีการพูดถึงไพ่ โดยไพ่มาตรฐานจะมีลักษณะดังนี้ (คนที่เป็นเซียนไพ่คงรู้อยู่แล้ว )

-                   ไพ่ 1 สำรับมี 52 ใบ

-                   ประกอบด้วย 4 ชุด คือ ข้าวหลามตัด (diamonds), โพธิ์แดง (hearts), ดอกจิก (clubs) ,โพธิ์ดำ (spades) โดยที่ 2 ชุดแรกสีแดง, 2 ชุดหลังสีดำ

-                   แต่ละชุดมีไพ่ 13 ใบ คือ เลข 2-10, และอีก 3 หน้า แจค (jack), แหม่ม (queen), คิง (king)

การคำนวนเรื่องความน่าจะเป็นมีขั้นตอนดังนี้

1.กำหนด trail/experiment

2.นิยาม sample space

3.นิยาม event

4.หาความน่าจะเป็น

คำถาม 1 :

ถ้าจั่วไพ่ออกมา 1 ใบจากสำรับ 52 ใบ จงหาโอกาสที่จะได้ไพ่ที่เป็นหน้า J Q K และมีสีดำ?

1.trial = การจั่วไพ่ 1 ใบจากสำรับ 52 ใบ

2.sample space = ไพ่ 52 ใบ ที่มีความน่าจะเป็นที่จะได้แต่ละใบเท่าๆ กัน

3.event = ไพ่ J, Q, K ที่มีสีดำ (ดอกจิก ไม่ก็โพธิ์ดำ) จึงมีที่ตรงตามต้องการแค่ 6 ใบ

4.probability = 6/52 = 0.115

หรือจะคำนวนอีกวิธีได้ว่า

เนื่องจากทั้งสองอัน independent กัน P(JQK ∩ ดำ) = P(JQK) x P(ดำ) = 12/52  x 26/52  = 0.115

คำถาม 2 :

ถ้าจั่วไพ่ออกมา 1 ใบจากสำรับ 52 ใบ จงหาโอกาสที่จะได้ไพ่ที่เป็นหน้า J Q K หรือไพ่สีดำ?

1.trial = การจั่วไพ่ 1 ใบจากสำรับ 52 ใบ

2.sample space = ไพ่ 52 ใบ ที่มีความน่าจะเป็นที่จะได้แต่ละใบเท่าๆ กัน

3.event = ไพ่ J, Q, K 12 ใบ หรือ ไพ่ที่มีสีดำ 26 ใบ ก็ตรงตามต้องการ เนื่องจากทั้ง 2 การไม่ใช่ Mutually Exclusive ทำให้มีไพ่ 6 ใบที่ตรงกับทั้งคู่ คือ JQK ที่มีสีดำ ทำให้ต้องหักออก ทำให้เหลือไพ่ที่ตรงความต้องการ = 12+26-6 = 32 ใบ

4.probability = 32/52 = 0.615

หรือจะคำนวนอีกวิธีได้ว่า

กัน P(JQK U | ดำ) = P(JQK) + P(ดำ) - P(JQK ∩ ดำ) = 12/52  +   26/52  -  6/52  = 0.615

คำถาม 3 :

ถ้าจั่วไพ่ออกมา 1 ใบจากสำรับ 52 ใบ แล้วเป็นสีดำ จงหาโอกาสที่มันจะเป็นไพ่ดอกจิก

1.trial = การจั่วไพ่ 1 ใบจากสำรับ 52 ใบ

2.sample space = ไพ่สีดำ 26 ใบ

3.event = ได้ไพ่ดอกจิก

4.probability = 13/26 = 0.5

หรือจะคำนวนอีกวิธีได้ว่า

P(ดอกจิก | ไพ่ดำ) = P(ดอกจิก และ ไพ่ดำ) / P(ไพ่ดำ) = P(ดอกจิก) / P(ไพ่ดำ) = 0.25 / 0.5 = 0.5

คำถาม 4 :

ถ้าลำดับไม่สำคัญ จะมีวิธีในการเลือกนักเรียน 5 คนจากนักเรียน 20 คนกี่แบบ

ถ้าลำดับไม่สำคัญ มันก็คือ Combination = 20C5  = 20! / (20-5)!5! = 15504 วิธี

คำถาม 5 :

ถ้ามีนักเรียนในห้อง 100 คน เป็นชาย 40 คน หญิง 60 คน  ชาย 20 คน ติด Facebook เช่นเดียวกับหญิง 45 คน ถ้าเราสุ่มคนมาหนึ่งคนปรากฏว่าคนนั้นติด Facebook จงหาความน่าจะเป็นที่คนนั้นจะเป็นผู้หญิง

-                   P(ชาย) =P(~หญิง) = 40/100 = 0.4

-                   P(หญิง) = 60/100 = 0.6

-                   P(ติด Facebook | ชาย ) = P(ติด Facebook | ~หญิง ) = 20/40 = 0.5

-                   P(ติด Facebook | หญิง ) = 45/60 = 0.75

P(หญิง|ติด Facebook ) = P(หญิง ∩ ติด Facebook) / P (ติด Facebook)

ซึ่ง P(หญิง ∩ ติด Facebook) = P(หญิง) * P(ติด Facebook | หญิง )=  0.6 x 0.75 = 0.45

และ P(ติด Facebook ) = P(หญิง)*P(ติด Facebook | หญิง ) +  P(~หญิง)*P(ติด Facebook | ~หญิง )
= 0.45 + (0.4*0.5) = 0.65

ดังนั้น P(หญิง|ติด Facebook ) = 0.45/0.65 = 0.69 นั่นเอง